É chato ler, mas é muito legal de usar
Durante algum tempo pensou-se que existiam tribos que não sabiam contar para além de dois, uma vez que só tinham nomes para os números um, dois e muitos. No entanto, estes povos arranjaram meios e métodos de realizar as suas contagens. As tribos com um vocabulário numérico muito reduzido tinham maneiras verdadeiramente elaboradas de contar pelos dedos das mãos e dos pés.
A maior parte dos sistemas de contar primitivos baseavam-se no 5, no 10 ou no 20. A base 5 foi muito utilizada. Em muitos idiomas, as palavras que significam "cinco" e "mão" ou são as mesmas ou possuem uma raíz comum. Os Tamanacos, uma tribo da América do Sul, usavam a mesma palavra para 5 e para "uma mão inteira". O termo 6 significava "um na outra mão", 7 era "dois na outra mão" e analogamente para 8 e 9. O 10 eram "ambas as mãos". Para exprimir de 11 a 14, os Tamanacos estendiam ambas as mãos e contavam "um do pé, dois do pé", e assim sucessivamente até "um pé completo". O sistema continuava com o 16 expresso como "um no outro pé", e por aí adiante até ao 19. Vinte era a palavra dos Tamanacos para "um índio", "dois índios" significava 40 e assim sucessivamente.
Os nomes primitivos dos números eram frequentemente idênticos aos das partes do corpo, como dedos das mãos e dos pés, ou outras. Ainda hoje, quando se fala de "dígitos" está-se a dar testemunho deste facto pois "dígitos" tem origem numa palavra em latim que significa dedos.
Os sistemas de base 6 e de base 9 são extremamente raros. Segundo parece, foi sentida a necessidade de dar um nome aos números maiores que cinco, adoptou-se então um sistema de base 10. Hoje o sistema de base 10 é quase universal, incluindo tribos primitivas.
Os matemáticos empenharam-se em destacar que, quando, ao contar, se vão tocando sucessivamente os dedos e outras partes do corpo, se está a exprimir o conceito de número ordinal (primeiro, segundo, terceiro, ...) enquanto que, quando os dedos são levantados de uma só vez para significar, por exemplo, 4 rãs, estão a exprimir o número cardinal (um, dois, três, ...) de um conjunto.
Multiplicação usando os dedos
Durante a Idade Média e o Renascimento, poucas foram as pessoas que chegaram a conhecer a tabela de multiplicar para além de 5X5. Assim, usava-se um método muito popular que se baseava no uso dos complementos dos números dados relativamente a 10. Como tal, o complemento de n relativamente a 10 será 10-n.
Neste método era frequente usar os dedos das mãos como instrumento de cálculo . Associa-se aos dedos de cada mão os números de 6 a 10, começando pelo dedo mindinho.
A maior parte dos sistemas de contar primitivos baseavam-se no 5, no 10 ou no 20. A base 5 foi muito utilizada. Em muitos idiomas, as palavras que significam "cinco" e "mão" ou são as mesmas ou possuem uma raíz comum. Os Tamanacos, uma tribo da América do Sul, usavam a mesma palavra para 5 e para "uma mão inteira". O termo 6 significava "um na outra mão", 7 era "dois na outra mão" e analogamente para 8 e 9. O 10 eram "ambas as mãos". Para exprimir de 11 a 14, os Tamanacos estendiam ambas as mãos e contavam "um do pé, dois do pé", e assim sucessivamente até "um pé completo". O sistema continuava com o 16 expresso como "um no outro pé", e por aí adiante até ao 19. Vinte era a palavra dos Tamanacos para "um índio", "dois índios" significava 40 e assim sucessivamente.
Os nomes primitivos dos números eram frequentemente idênticos aos das partes do corpo, como dedos das mãos e dos pés, ou outras. Ainda hoje, quando se fala de "dígitos" está-se a dar testemunho deste facto pois "dígitos" tem origem numa palavra em latim que significa dedos.
Os sistemas de base 6 e de base 9 são extremamente raros. Segundo parece, foi sentida a necessidade de dar um nome aos números maiores que cinco, adoptou-se então um sistema de base 10. Hoje o sistema de base 10 é quase universal, incluindo tribos primitivas.
Os matemáticos empenharam-se em destacar que, quando, ao contar, se vão tocando sucessivamente os dedos e outras partes do corpo, se está a exprimir o conceito de número ordinal (primeiro, segundo, terceiro, ...) enquanto que, quando os dedos são levantados de uma só vez para significar, por exemplo, 4 rãs, estão a exprimir o número cardinal (um, dois, três, ...) de um conjunto.
Multiplicação usando os dedos
Durante a Idade Média e o Renascimento, poucas foram as pessoas que chegaram a conhecer a tabela de multiplicar para além de 5X5. Assim, usava-se um método muito popular que se baseava no uso dos complementos dos números dados relativamente a 10. Como tal, o complemento de n relativamente a 10 será 10-n.
Neste método era frequente usar os dedos das mãos como instrumento de cálculo . Associa-se aos dedos de cada mão os números de 6 a 10, começando pelo dedo mindinho.
Para multiplicar 7 por 8 tocam-se os dedos associados ao 7 e ao 8, como se observa na figura seguinte .
Note-se que o complemento de 7 está representado pelos três dedos superiores (situados acima dos dedos em contacto) de uma mão e o complemento de 8 pelos dedos superiores na outra mão. Os cinco dedos inferiores representam o 5, ou seja, 5 dezenas. A 50 adiciona-se o produto dos dedos superiores, 3X2, ou seja 6, dando no total 56.
Como é isto possível?
Ao calcular p x q (p,q = 6,7,8,9), juntam-se p-5 dedos na mão esquerda e ficam 10-p dedos. Na mão direita juntam-se dedos e sobram q - 5 dedos. A soma 10 - q dos dedos da mão esquerda com os dedos da mão direita representa as dezenas, ou seja, A10(p – 5 + q – 5). A este resultado adiciona-se o produto dos dedos que sobram de ambas as mãos, ou seja, (10 - p) (10 - q) Assim, o resultado é,
10(p – 5 + q – 5) + (10 – p)(10 – q)
ou seja,
10p – 50 + 10q – 50 + 100 – 10q – 10p + pq = p x q.
Este método simples de usar os dedos para calcular o produto de qualquer par de números compreendidos entre 6 e 10 foi extensivamente usado durante o Renascimento, ainda hoje é utilizado em certas zonas rurais da Europa e da Rússia.
Este método deve ser dado a conhecer aos alunos, em qualquer nível de escolaridade, visto ser um método de multiplicar interessante, curioso e motivante.
Os dedos e a tabuada do 9
Este subcapítulo apresenta um processo de multiplicar um algarismo por 9 usando os dedos. Associa-se aos dedos de cada mão os números de 1 a 10 começando pelo dedo polegar.
Ao calcular p x q (p,q = 6,7,8,9), juntam-se p-5 dedos na mão esquerda e ficam 10-p dedos. Na mão direita juntam-se dedos e sobram q - 5 dedos. A soma 10 - q dos dedos da mão esquerda com os dedos da mão direita representa as dezenas, ou seja, A10(p – 5 + q – 5). A este resultado adiciona-se o produto dos dedos que sobram de ambas as mãos, ou seja, (10 - p) (10 - q) Assim, o resultado é,
10(p – 5 + q – 5) + (10 – p)(10 – q)
ou seja,
10p – 50 + 10q – 50 + 100 – 10q – 10p + pq = p x q.
Este método simples de usar os dedos para calcular o produto de qualquer par de números compreendidos entre 6 e 10 foi extensivamente usado durante o Renascimento, ainda hoje é utilizado em certas zonas rurais da Europa e da Rússia.
Este método deve ser dado a conhecer aos alunos, em qualquer nível de escolaridade, visto ser um método de multiplicar interessante, curioso e motivante.
Os dedos e a tabuada do 9
Este subcapítulo apresenta um processo de multiplicar um algarismo por 9 usando os dedos. Associa-se aos dedos de cada mão os números de 1 a 10 começando pelo dedo polegar.
Para saber o resultado de uma multiplicação por 9, levantam-se os 10 dedos das mãos.
O produto de 9 x n vê-se baixando o n-ésimo dedo a contar da esquerda para a direita. Por exemplo, 9 x 4 corresponde a baixar o 4º dedo. Ficam 3 dedos levantados antes do dedo que se baixa, e 6 depois. O que significa 36, que é o resultado pretendido, como se observa na figura seguinte.
Do mesmo modo se faz para 9 x 9, como ilustra a imagem.
Mas, porque é que isto se verifica?
Baixando o n-ésimo dedo, ficavam então (n - 1) dedos levantados à esquerda, o número das dezenas, e 10-n dedos levantados à direita, o número das unidades. Então, 10(n – 1)+(10 – n) = 10n – 10 + 10 – n = 9 x n .
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